Speedcubing Advent Calendar の14日目の記事、God's Numberについて はとても勉強になりました。が、雰囲気をなんとなく感じただけで、あまり理解しているとは言いがたいです。この手の話は好きなのですが、難しいですね。
せっかくなので、最後の G3→G4 の、180°回転だけで完成させるフェーズ、66万3552通りだけでも理解してみたいと思いました。
page 3 の第二段落にありますが、96x6912 = 663,552 だそうです。
紹介されている、Jaap氏のサイトの該当ページからその部分のデータを引っこ抜きました。
PAGE 1: AT LEAST ONE SLICE FIXED. →832 通り
PAGE 2: 3 3-CYCLES →512 通り
PAGE 3: NO SLICE FIXED; 2 3-CYCLES AND ONE DOUBLE TRANSPOSITION. →576 通り
PAGE 4: NO SLICE FIXED; AT LEAST TWO DOUBLE TRANSPOSITIONS →267 通り
PAGE 5: NO SLICE FIXED; TWO 2-CYCLES. →1188 通り
PAGE 6: NO SLICE FIXED; TWO 4-CYCLES →1188 通り
PAGE 7: NO SLICE FIXED; 2-CYCLE + 4-CYCLE. →2352 通り
PAGE 2: 3 3-CYCLES →512 通り
PAGE 3: NO SLICE FIXED; 2 3-CYCLES AND ONE DOUBLE TRANSPOSITION. →576 通り
PAGE 4: NO SLICE FIXED; AT LEAST TWO DOUBLE TRANSPOSITIONS →267 通り
PAGE 5: NO SLICE FIXED; TWO 2-CYCLES. →1188 通り
PAGE 6: NO SLICE FIXED; TWO 4-CYCLES →1188 通り
PAGE 7: NO SLICE FIXED; 2-CYCLE + 4-CYCLE. →2352 通り
832+512+576+267+1188+1188+2352 = 6915
あれ？6912 じゃないんですね？
合計が唯一奇数のPAGE 4: NO SLICE FIXED; AT LEAST TWO DOUBLE TRANSPOSITIONS が怪しそうですが、内容が全然分かりません。一番分かりやすそうな、PAGE 2: 3 3-CYCLES すら何が何だかよく分かりません。気が向いたらもう少し検討してみますが、時間がかかりそうです。
数としては、全て 180°回転だけ廻す場合は、
隅は、左図なら左図のどれか、右図なら右図のどれかの位置にだけ移動し、
辺はこの三つのそれぞれにおいて、同じ図の中のどれかの位置にだけ移動するので、
隅 (組み合わせの 4x3x2x1)x(左右 2)
辺 (組み合わせの 4x3x2x1)x(左中右 3)
隅・辺のそれぞれにおいて単純二点交換は発生しないので、それぞれ 2 で割り、
キューブ全体を x2, y2, z2 したものは相対的には同じなので 3 で割ると、
(4!^2 ÷ 2) x (4!^3 ÷ 2) ÷ 3 = 24^2 x 24^3 ÷ 12 = 24^4 x 2 = 663,552
かな？と思うのですけど、自信が持てず、申し訳ありません。まだまだ勉強しないといけませんね。
